Свободные колебания осциллятора Дуффинга с сухим трением

Аннотация

Описаны свободные затухающие колебания осциллятора с сухим трением Кулона при наличии линейного и кубического слагаемых в выражении восстанавливающей силы, которая зависит от перемещения системы. Используя первый интеграл нелинейного дифференциального уравнения движения, определения точных значений амплитуд размахов сведено к вычислению соответствующих действительных корней кубического уравнения, которое имеет аналитическую реализацию. Для приближенного вычисления значений амплитуд предложена также дополнительная компактная итерационная формула. Удовлетворительная сходимость итераций по ней подтверждена многочисленными расчетами. Решена также задача определения длительностей размахов. Для этого переходом к новым переменным интегрирования несобственный интеграл второго рода сведено к сумме двух собственных интегралов, выражающих продолжительность размаха во времени. Их приходится интегрировать численными методами на компьютере. Поэтому дополнительно приведены неравенства двусторонней оценки длительностей размахов и предложена компактная формула, которая дает возможность приближенно вычислить эту продолжительность. Проведено сравнение числовых результатов, полученных различными способами. Показано, что затухание амплитуд колебаний, продолжительности размахов во времени их количество до полной остановки осциллятора зависят от характеристик нелинейности. Установлено, что в связи с нелинейной упругостью, продолжительности размахов осциллятора Дуффинга зависят от амплитуд колебаний. От характеристик нелинейности также зависит и ширина области застоя осциллятора, определение которой сведено к вычислению действительного корня кубического уравнения по формулам Кардано. Выведены формулы, которые дают возможность без использования второго интеграла нелинейного уравнения колебаний осциллятора вычислить его основные кинематические характеристики, изменяющиеся в ходе движения.