Интегральное уравнение удара упругого конуса о препятствие и его приближенное решение

Аннотация

Построено приближенное аналитическое решение интегрального уравнения удара с небольшой скоростью двух упругих тел, одно из которых конус вращения. Для этого использован метод последовательных приближений и формула Шенкса, которая в замкнутой форме приближенно выражает сумму степенного ряда. Полученные решения дают развертку во времени процесса удара и возможность вычисления максимума силы сжатия, максимума сближения центров масс тел и длительности удара. Изложенный способ построения приближенных решений интегральных уравнений силы удара незакрепленных тел является достаточно универсальным. Он может быть использован для теоретического исследования удара тел, ограниченных поверхностями высоких порядков, описывающих плотный контакт, а также поверхностями с сингулярными точками, для которых существуют аналитические решения контактной задачи теории упругости. При составлении интегрального уравнения силы удара задействована теория Г. Герца и решение осесимметричной контактной задачи теории упругости, полученное И.Я. Штаерманом. Показано, что построенные приближенные решения можно использовать и для аппроксимации тех периодических Ateb-функций, в первой четверти их периода, через которые выражается точное аналитическое решение этой задачи удара. Погрешности приближенных решений меньше 0,5 %. Это установлено сравнением числовых результатов, к которым они приводят, с результатами интегрирования дифференциального уравнения удара на компьютере. Приведено примеры расчетов, подтверждают достоверность полученных аналитических решений. Изложенная теория касается только малых скоростей удара, когда при динамическом взаимодействии тел не возникает большой области пластических деформаций. Появление малой области таких деформаций неминуемо в окрестности вершины конуса и при малых скоростях столкновения тел, но ее не учитываем в работе.