Динамический изгиб балки с бинарным закреплением краев

Аннотация

Рассмотрено деформирование балки при кратковременном силовом нагружении импульсом, распределенным по ее длине. Предполагается, что условия закрепления концов балки зависят от направления прогиба, то есть от углов поворота ее торцов. При действии силового нагружения, а также при некотором времени и после него, углы поворота равны нулю, ибо концы балки жестко защемлены, а после изменения знака перемещения они становятся свободно опертыми в цилиндрических шарнирах. Поэтому движение балки разделено на два этапа. На первом из них, когда края балки жестко защемлены, решение задачи выражено в функциях А. Н. Крылова. Выведены компактные формулы для расчета положительного перемещения балки и изгибающих моментов на опорах и в срединном сечении. Показано, что максимумы этих величин не превышают удвоенных их статических значений. Выведено также формулы для вычисления времени, когда достигаются максимумы и формула для вычисления продолжительности первого этапа движения. На втором этапе движения разгруженная балка с шарнирно опертыми краями совершает свободное колебание. Отрицательное перемещение балки и изгибающий момент в ней представлены в тригонометрических рядах. Проведено числовые расчеты. Установлено, что при малых продолжительностях силового импульса по сравнению с периодом основного тона колебаний амплитуды прогибов в сторону силового нагружения меньше нежели амплитуды прогибов балки в противоположную сторону. Это касается и амплитуд изгибающих моментов по середине балки. По мере нарастания продолжительности действия импульса этот динамический эффект, свойственный колебательным системам с несимметричной характеристикой упругости, исчезает. По итогам расчетов построены графики изменения во времени прогибов и изгибающих моментов в характерных сечениях балки. Исследовано также влияние количества вычисленных членов в частичных суммах рядов на точность (сходимость) числовых результатов. Таким образом, использованный метод припасовывания решений оказался эффективным способом получения аналитических результатов в решаемой нелинейной задаче, упрощение которой удалось достичь за счет выбора отдельного распределения силового нагружения по длине балки. Именно он позволил получить несколько компактных расчетных формул для первого этапа движения.